Hola, He probado agregar el nombre de la organización en una cuenta de correo de gmail en Thunderbird luego enviar correos de dicha cuenta a otras cuenta de gmail pero veo donde aparece este nombre en los contactos de web gmail parece muy básico la información que muestra el web gmail, tendrías que probar enviar correos a un cliente de Outlook desktop que este tiene gran cantidad de campos con el Thunderbird. Porque esta información de nombre de organización se enviaría con el contacto (cuenta origen) para se pueda mostrar cunado abrís dicho contacto en el cliente de correo destinatario. Saludos